媒介変数表示

■　媒介変数表示とは
 

中学校以来，グラフ，直線・曲線の方程式は， ｘとｙの式で表わされました。 例　y = 2x + 3 例　x2 + y2= 9　など 　このページで説明する媒介変数表示とは，ｘ座標とｙ座標を他の変数の関数として表わしたものをい います。 x = t2 - 3 y = 3t + 1　など

［♪〜ｘ家とｙ家のご縁を取り持つ媒酌人はｔ氏です。〜♪］   ｔ　が変化すれば，ｘが変化し，ｙも変化するので， ｘ　と　ｙ　が連動しているように見えます。 実際，ｘが決まればｙが決まります。

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■　媒介変数表示のイメージ

■　例１ 　 物理の公式を用いると，高さ10(m)の屋上から水平方向に4(m/秒)の速さで投げ出された物体のt秒後のx座標とｙ座標は次の式で表わされます。 x = 4t y = -4.9t2 + 10 ※　ｔ　の値の上にマウスを置くと，対応するｘ，ｙの値とグラフ上の点の位置が 示されます。 　この例では，時刻　t　を媒介変数としてｘ座標とｙ座標が決まり， それぞれの　ｔ　の値について点が定まります。   あなたの場所を表す言葉を見つけることができます

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■　例２ 　右の表は，動径がｘ軸の正の向きとなす角をθ(度)としたとき， x = cosθ y = sinθ で与えられる点x,yの座標で，グラフはこれを点で示したものです。 　この場合，x,yは角度θによる媒介変数表示で表わされ，グラフは原点を中心とする半径１の円になります。  ※　θ　の値の上にマウスを置くと，対応するｘ，ｙの値とグラフ上の点の位置が示されます。

θ (度) x y 0 1.0000  0.0000  15 0.9659  0.2588  30 0.8660  0.5000  45 0.7071  0.7071  60 0.5000  0.8660  75 0.2588  0.9659  90 0.0000  1.0000  105 -0.2588  0.9659  120 -0.5000  0.8660  135 -0.7071  0.7071  物理的な特徴は、イタリアの決済に影響を与えたもの 150 -0.8660  0.5000  165 -0.9659  0.2588  180 -1.0000  0.0000  195 -0.9659  -0.2588  210 -0.8660  -0.5000  225 -0.7071  -0.7071  240 -0.5000  -0.8660 255 -0.2588  -0.9659  270 0.0000  -1.0000  285 0.2588  -0.9659  300 0.5000  -0.8660  315 0.7071  -0.7071  330 0.8660  -0.5000  345 0.9659  -0.2588  360 1.0000  0.0000  　 うハーレーエベレット、質量

■　媒介変数の消去とは　--　媒介変数表示をｘ，ｙの関係式に直すには，媒介変数を消去します。それはなぜ？
 

■　要点　--媒介変数の消去　(ｘ，ｙ関係式；　軌跡の方程式の求め方)

手順1 　媒介変数について解いて，代入消去する必要はなく，ただ単に媒介変数を消去すればよい。 手順2 　元の関係式・・(1)　→　ｘ．ｙの関係式・・(2) において(2)は(1)の必要条件に過ぎないので，十分性の検討が重要 すなわち，(2)の全部が(1)を満たしているかどうかの検討が重要。(2)のうち一部の点が解でない場合(除外点)や一部の区間が解でないことがあるので要注意。 　媒介変数に付着していた条件は，媒介変数を消去したときは，生き残ったｘ，ｙで引き継ぐことが重要。 そこで一句：［死者の遺言は，戦友が引き継ぐ］ ○１ 　上の例のように，２つの式をｔ について明示的に解いて，これらが等しいことから，ｘ，ｙの関係式を求められる場合があります。 □２ 　２つの式から t を明示的に解くことができなくても，１つの式から　t =・・・　の形に直し，もう一方の式に代入することによりｔ を消去してｘ，ｙの関係式が求められる場合があります。 ●３ 　t　を代入消去するときに，媒介変数に付着していた条件は，ｘやｙの条件として引き継がなければならないことがあります。 ■４ 　一旦 t= という形に解くことは重要でなく，ただ単に t が消去できればよいので，ｘ，ｙの式をよく観察して関係式を作ります。 ※ 　媒介変数が簡単には消去できないものもあります。 ア　このようなものにおいては，曲線の方程式は媒介変数表示でのみ表わされます。 イ　曲線の概形が必要なときは，幾つかのｔの値を元に，点をプロットすれば分かります。 　表計算ソフトExcelで次の赤枠部分を選択してから，グラフ→散布図などとします。

例○１　次の媒介変数表示をｘ，ｙの関係式に直しなさい。 x = -t +3・・(1) y = 2t + 1・・(2) (t は全実数)・・(3) (1)より t = 3 - x これを(2)に代入 y = 2(3 - x) + 1= -2x +7　・・・答・・(4) (なお，(3)よりｘも全実数となり(4)の直線の全部が答。 数学では「制限のあるものは言わなければならない」が，「制限のないものは，何も言わなくてよい」ので 単に　y = -2x +7　を答とすればよい。) 例□２　次の曲線の方程式を，ｙをｘの関数として表わしなさい。 x = t - 1・・(1) y = 2t2 + 3・・(2) (数学では「制限のあるものは言わなければならない」が，「制限のないものは，何も言わなくてよい」ので，特に記述がなければ，ｔ は全実数：制限がないものとして扱う)・・(3) (1)より t = x + 1 これを(2)に代入すると y =2(x + 1)2 + 3・・答・・(4) (t は全実数で，(1)よりｘは全実数：何も言わなくてよい。) 例●３　次の式で表わされる点（ｘ，ｙ）が動く軌跡の方程式を求めなさい。 x = √t・・(1) y = 3t + 1・・(2) (1)より x =√t ≧ 0 [ｔ は消える　→　条件はｘが引き継ぐ：ｘ≧0］ (1)よりt = x2　を(2)に代入 y = 3x2 + 1 (ｘ≧0)・・・答 例■４　実数 t が変化するとき，次の点（ｘ，ｙ）がどのような曲線上を動くか述べなさい。 x = cost・・(1) y = sint・・(2) sin2t + cos2t = 1はどんなｔについても成立するから x2 + y2 = 1・・答・・(3) (実際には，(1)(2)において-1≦cost≦1，-1≦sint≦1だから-1≦x≦1，-1≦y≦1であるが，(3)を満たすｘ，ｙはこの制限を満たしているので，定義域について何も言わなくてよい。) 例※　次の媒介変数表で表わされる曲線(サイクロイド)は，媒介変数の消去によるｘ，ｙ関係式に簡単にはできません。 x = t - sint y = 1 - cost Excelのグラフで散布図を選択すると次のような概形が描けます。

■　問題

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